مساحة و حجم الهرم

تمهيد : لا بد وأنك تعرف أهرام مصر ، فهي إحدى عجائب الدنيا السبع ، ولا بد أنك تعرف شكلها الهندسي ومما تتكون فهو عبارة عن قاعدة مربعة الشكل وأوجهه مثلثات متساوية الساقين ، ولو أردنا تعريف الهرم القائم ، لقلنا إنه عبارة عن شكل له قاعدة منتظمة وله أوجه جانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين عددها عدد أضلاع القاعدة وتلتقي رؤوسها في نقطة واحدة هي رأس الهرم ، يسمى ارتفاع المثلث المتساوي الساقين بالارتفاع الجانبي للهرم أما ارتفاع الهرم فهو الخط العمودي النازل من رأسه على قاعدته . ولتوضيح صورة الهرم لديك انظر الأشكال التالية :




وهناك هرم ثلاثي وسداسي والذي يحدد نوع الهرم هو عدد أضلاع قاعدته .

وسوف نبحث معاً في إيجاد مساحة سطح الهرم الخارجية وكذلك حجم الهرم القائم ؟


أولاً : مساحة سطح الهرم الخارجية :

لاحظ أن المساحة الجانبية للهرم عبارة عن مثلثات أي أن المساحة الجانبية للهرم = عدد المثلثات × مساحة المثلث

حيث أن عدد المثلثات هو نفسه عدد أضلاع القاعدة .

أي أنّ : المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحة المثلثات التي هي أوجه الهرم

لكن قواعد هذه المثلثات ليست سوى أضلاع قاعدته .

× محيط قاعدة الهرم × الارتفاع الجانبي للهرم .




=


أمثلة :

1.هرم رباعي قائم مساحة أحد أوجهه 20 سم2 ، فما مساحته الجانبية ؟

الحل :

الأوجه هنا 4 مثلثات متطابقة ، وبما أن مساحة الواحدة منها = 20 سم2 إذن :

مساحة الهرم الجانبية = مساحة أحد الأوجه × عدد الأوجه

= 20 × 4 = 80 سم2 .



2. هرم خماسي طول ضلع قاعدته 3 سم وارتفاعه الجانبي 6 سم احسب مساحة سطحه الخارجية ؟

محيط القاعدة × الارتفاع




الحل : مساحة سطح الهرم الخارجية =

( 5 × 3 ) × 6




=

= 15 × 3 = 45 سم2 .




3. هرم سداسي ارتفاعه الجانبي 16 سم ، وطول قاعدته 14 سم . أوجد مساحته الجانبية

× ( محيط القاعدة ) × الارتفاع الجانبي


الحل: المساحة الجانبية للهرم =

× ( 6 × 14 ) × 16
=

= 3 × 14 × 16 = 672 سم2 .

والآن سوف نبحث في حجم الهرم القائم

ثانياً : حجم الهرم القائم :

لا شك أن حجم الهرم الرباعي أصغر من حجم متوازي المستطيلات الذي له ذات القاعدة والارتفاع ، وقد وجد العلماء من تجارب أجريت على متوازيات مستطيلات وأهرامات لها نفس الارتفاع أنّ :

حجم الموشور المشترك معه في القاعدة والارتفاع




حجم الهرم =

مساحة القاعدة × الارتفاع




=


أمثلة :

1. هرم ثلاثي قائم مساحة قاعدته 99 سم2 وارتفاعه 10 سم .


الحل :

× مساحة القاعدة × الارتفاع


الحجم =

× 99 × 10 = 330 سم3 .
=

2. هرم رباعي طول ضلع قاعدته ( 10 ) سم ، وارتفاعه ( 21 ) سم .


× مساحة القاعدة × الارتفاع
× 10 × 10 × 21 = 700 سم3 .


الحل : حجم الهرم =

=




سؤال للحل : إذا كان طول القاعدة المربعة للهرم الأكبر ( هرم خوفو ) في القاهرة هو تقريباً 220 م ، وارتفاعه حوالي 138 م . فاوجد حجمه .

حجم الهرم هو
B×h×1/3
Bمساحة القاعدة
hالارتفاع

شكرااااااااااااااااااااااا

مرسي

merci bcp